Mathématiques III

Le cours de Mathématiques III (UE2 — Science fondamentale, semestre 3) introduit les outils mathématiques qui se cachent derrière le calcul des structures et la physique du bâtiment : les équations aux dérivées partielles (EDP), qui décrivent la diffusion de la chaleur dans un mur, la vibration d’une poutre ou l’équilibre d’une membrane, et le calcul des variations, qui explique pourquoi une chaînette donne la forme idéale d’un arc ou d’une voûte nubienne et fonde les méthodes énergétiques utilisées par les logiciels de calcul.

L’objectif n’est pas de former des mathématiciens, mais de donner au futur assistant en architecture les clés pour comprendre les modèles, interpréter les résultats des logiciels et estimer des ordres de grandeur. Les exemples sont tirés du contexte nigérien : mur en banco face à la chaleur de Niamey, poutre de plancher d’une villa R+1, profil d’une voûte en terre.

Objectifs d’apprentissage

• Reconnaître et classer une EDP linéaire du second ordre (elliptique, parabolique, hyperbolique) et poser des conditions aux limites.
• Résoudre des problèmes simples par séparation des variables et séries de Fourier.
• Appliquer l’équation de la chaleur à la conduction et à l’inertie thermique des parois.
• Calculer les fréquences propres de cordes, câbles et poutres simples.
• Écrire et utiliser l’équation d’Euler-Lagrange ; appliquer la méthode de Rayleigh-Ritz à une poutre.

Prérequis

Mathématiques I et II : dérivées, intégrales, équations différentielles ordinaires linéaires, fonctions trigonométriques et hyperboliques ; notions de statique et de résistance des matériaux.

Plan du cours

1. Introduction aux équations aux dérivées partielles
2. L’équation de la chaleur : conduction et inertie thermique des parois
3. L’équation des ondes et les vibrations des structures
4. Calcul des variations et méthodes énergétiques appliqués aux structures

Modalités d’évaluation

Volume horaire : 20 h de cours magistral (CM), 10 h de travaux dirigés (TD), 0 h de TP et 10 h de travail personnel (TPE), pour 2 crédits. Évaluation : contrôle continu (interrogations et devoirs de TD : 40 %) et examen terminal écrit (60 %).

Bibliographie

• Kreyszig, E. — Advanced Engineering Mathematics, Wiley.
• Boyce, W. E. & DiPrima, R. C. — Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Wiley.
• Timoshenko, S. & Young, D. H. — Vibration Problems in Engineering, Wiley.
• Gelfand, I. M. & Fomin, S. V. — Calculus of Variations, Dover.