Algèbre booléenne 2

Ce cours d’algèbre booléenne (partie 2) fait suite à la partie 1 du semestre 1 (numération, signaux booléens, opérateurs, De Morgan, écriture algébrique). Il formalise l’algèbre de Boole comme structure mathématique, définit rigoureusement la notion de fonction logique, établit les écritures canoniques (sommes de mintermes et produits de maxtermes) et enseigne les méthodes de simplification algébrique et par tableaux de Karnaugh. Ces outils sont indispensables pour comprendre l’architecture des processeurs et des équipements réseau, pour écrire des conditions logiques correctes et minimales dans les scripts et règles de filtrage, et pour aborder la cryptographie symétrique, qui manipule massivement des fonctions booléennes (boîtes de substitution, registres à décalage). Les exemples sont tirés de la sécurité des systèmes : détection d’événements, contrôles d’accès, codes de parité et comparateurs.

Objectifs d’apprentissage

• Énoncer les composantes et les axiomes de l’algèbre de Boole et en déduire les règles de calcul (absorption, consensus, dualité).
• Définir une fonction logique, dénombrer les fonctions de n variables et traiter les fonctions incomplètement spécifiées.
• Utiliser le théorème d’expansion de Shannon et concevoir des fonctions à plusieurs sorties (additionneur, comparateur, parité).
• Écrire une fonction sous ses deux formes canoniques et passer de l’une à l’autre.
• Simplifier une fonction de 3 ou 4 variables par la méthode algébrique et par tableau de Karnaugh, y compris avec des états indifférents.

Prérequis

Algèbre booléenne partie 1 (ABO1111) : numération binaire, opérateurs logiques, tables de vérité, théorèmes de De Morgan.

Plan du cours

1. Leçon 1 — Composantes de l’algèbre de Boole et règles de base
2. Leçon 2 — Notion de fonction logique booléenne
3. Leçon 3 — Écritures canoniques d’une fonction logique
4. Leçon 4 — Simplification de l’écriture des fonctions

Modalités d’évaluation

Volume horaire : 13 h de CM, 7 h de TD, 0 h de TP, 20 h de travail personnel (TPE) ; 2 crédits. Évaluation : contrôle continu (TD notés, quiz en ligne, devoir surveillé) pour 40 % et examen terminal écrit de 2 h pour 60 %.

Bibliographie

• Daniel Mange, Analyse et synthèse des systèmes logiques, Presses polytechniques et universitaires romandes (Traité d’électricité, vol. V).
• M. Morris Mano, Michael D. Ciletti, Digital Design, Pearson.
• John F. Wakerly, Digital Design: Principles and Practices, Pearson.
• Thomas L. Floyd, Digital Fundamentals, Pearson.