Mathématiques II

Le cours de Mathématiques II prolonge Mathématiques I et fournit à l’étudiant en architecture les outils de modélisation qui décrivent l’évolution d’un phénomène dans le temps ou dans l’espace : refroidissement d’un mur en terre après le coucher du soleil, séchage d’une brique de banco, vibration d’un plancher, flèche d’une poutre, variation journalière de la température à Niamey, forme optimale d’un arc ou d’une voûte. Trois grands chapitres sont traités : les équations différentielles ordinaires (premier et second ordre), les séries et la transformation de Fourier, et le calcul des variations. L’accent est mis sur la compréhension des méthodes, la résolution à la main de problèmes simples et l’interprétation physique des résultats dans un contexte de construction sahélien.

Objectifs d’apprentissage

• Reconnaître et résoudre une équation différentielle du premier ordre (variables séparables, linéaire) avec condition initiale.
• Résoudre une équation linéaire du second ordre à coefficients constants, homogène ou avec second membre simple.
• Calculer les coefficients de Fourier d’un signal périodique et interpréter son spectre ; connaître la transformée de Fourier d’une impulsion.
• Écrire et résoudre l’équation d’Euler-Lagrange d’une fonctionnelle simple ; reconnaître la chaînette et le problème isopérimétrique.
• Traduire un problème d’ingénierie du bâtiment (thermique, vibrations, flèche, forme d’arc) en modèle mathématique et en discuter la validité.

Prérequis

Mathématiques I : dérivées, primitives et intégrales usuelles, fonctions exponentielle, logarithme et trigonométriques, nombres complexes (forme algébrique et exponentielle), résolution des équations du second degré.

Plan du cours

1. Leçon 1 — Équations différentielles du premier ordre
2. Leçon 2 — Équations différentielles linéaires du second ordre
3. Leçon 3 — Séries et transformation de Fourier
4. Leçon 4 — Calcul des variations et formes optimales

Modalités d’évaluation

Volume horaire de la maquette : 15 h de CM, 10 h de TD, 0 h de TP et 15 h de travail personnel de l’étudiant (TPE), pour 2 crédits. Évaluation : contrôle continu (devoirs de TD, interrogations écrites, quiz en ligne) et examen terminal écrit. Les exercices corrigés de chaque leçon constituent la base des séances de TD.

Bibliographie

• Boyce, W. E., & DiPrima, R. C. (2017). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Wiley.
• Kreyszig, E. (2010). Advanced Engineering Mathematics. Wiley.
• Gelfand, I. M., & Fomin, S. V. (2000). Calculus of Variations. Dover.
• Tolstov, G. P. (1976). Fourier Series. Dover.