Mathématiques appliquées aux télécoms

Ce cours de l’UE4 (Mathématiques appliquées et Statistiques) fournit à l’étudiant les outils mathématiques utilisés quotidiennement par les techniciens et ingénieurs des télécommunications. La première partie est consacrée à l’analyse fréquentielle : décomposition d’un signal périodique en série de Fourier, transformée de Fourier, notion de spectre et de bande passante. La seconde partie introduit le calcul des probabilités appliqué au trafic : loi de Poisson des appels, loi exponentielle des durées, intensité de trafic en Erlang. La dernière leçon réunit ces outils pour résoudre des problèmes concrets de transmission : dimensionnement d’une cellule avec la formule d’Erlang B, calculs en décibels et bilan de liaison d’un faisceau hertzien, capacité de Shannon et probabilité d’erreur sur un paquet.

Les exemples sont tirés du contexte nigérien : trafic d’une cellule 2G/4G à Niamey, faisceau hertzien vers Dosso, liaison VSAT d’un centre de santé rural, abonnés Mobile Money.

Objectifs d’apprentissage

• Calculer les coefficients de Fourier de signaux périodiques usuels et tracer leur spectre de raies.
• Utiliser la transformée de Fourier et ses propriétés pour déterminer le spectre et la bande occupée d’un signal.
• Modéliser l’arrivée des appels et leur durée par les lois de Poisson et exponentielle ; calculer une intensité de trafic en Erlang.
• Dimensionner un faisceau de circuits ou de canaux avec la formule d’Erlang B pour un taux de blocage donné.
• Manipuler les décibels (dB, dBm, dBi) et appliquer la formule de Shannon et la loi binomiale à une liaison de transmission.

Prérequis

Mathématiques générales (S1) : fonctions trigonométriques, nombres complexes, dérivées et intégrales, sommes et suites, logarithmes.

Plan du cours

1. Leçon 1 — Séries de Fourier des signaux périodiques
2. Leçon 2 — Transformée de Fourier et analyse spectrale
3. Leçon 3 — Probabilités appliquées au trafic télécoms
4. Leçon 4 — Applications aux systèmes de transmission

Modalités d’évaluation

Volume horaire : 30 h de cours magistral (CM), 10 h de travaux dirigés (TD), pas de travaux pratiques, 20 h de travail personnel (TPE), 3 crédits. Évaluation : contrôle continu (séries de TD, devoirs, quiz en ligne) et examen terminal écrit. La calculatrice scientifique est indispensable ; un formulaire (Fourier, Poisson, Erlang B, décibels) est fourni.

Bibliographie

• J.-P. Muller, Traitement du signal, Ellipses.
• F. de Coulon, Théorie et traitement des signaux, Presses polytechniques et universitaires romandes.
• M. Schwartz, Telecommunication Networks: Protocols, Modeling and Analysis, Addison-Wesley.
• UIT-D, Teletraffic Engineering Handbook (V. B. Iversen), Union internationale des télécommunications.