Mathématique Appliquée

Ce cours de Mathématique appliquée (semestre 4) donne au futur technicien supérieur en chaudronnerie et construction métallique les outils mathématiques qui interviennent dans le calcul des structures, la thermique des ateliers et des appareils, la vibration des câbles et des haubans, ou le traitement de mesures de laboratoire. On y complète le calcul matriciel (diagonalisation, trigonalisation, systèmes différentiels), on introduit l’analyse numérique (interpolation, approximation, intégration approchée), on étend l’analyse aux fonctions de plusieurs variables (dérivées partielles, intégrales multiples et curvilignes, opérateurs vectoriels) et on aborde deux équations aux dérivées partielles fondamentales : l’équation de la chaleur et l’équation des ondes. Chaque notion est reliée à un problème concret : contraintes principales dans une tôle, centre de gravité d’un gousset, refroidissement d’une barre après soudage, vibration d’un hauban de pylône.

Objectifs d’apprentissage

• Diagonaliser ou trigonaliser une matrice carrée et en déduire ses puissances et la solution d’un système différentiel linéaire.
• Construire un polynôme d’interpolation (Lagrange, Newton) et une droite des moindres carrés à partir de mesures.
• Calculer une intégrale approchée par les méthodes des rectangles, des trapèzes et de Simpson et estimer l’erreur.
• Calculer des dérivées partielles, des intégrales doubles, triples et curvilignes, et les appliquer à la mécanique (aire, centre de gravité, moment quadratique, travail).
• Utiliser gradient, divergence et rotationnel en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques.
• Résoudre par séparation des variables les équations de la chaleur et des ondes dans des cas simples.

Prérequis

Mathématiques générales de S1-S2 : calcul matriciel de base (déterminant, inverse), dérivation et intégration d’une variable, équations différentielles linéaires du premier et du second ordre, vecteurs et produit scalaire/vectoriel, trigonométrie.

Plan du cours

1. Leçon 1 — Compléments de calcul matriciel : diagonalisation, trigonalisation et systèmes différentiels linéaires
2. Leçon 2 — Analyse numérique : interpolation, approximation et intégration numérique
3. Leçon 3 — Géométrie, trigonométrie et fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles et intégrales multiples
4. Leçon 4 — Calcul vectoriel et équations aux dérivées partielles : chaleur et ondes

Modalités d’évaluation

Volume horaire : 30 h de cours magistral (CM), 10 h de travaux dirigés (TD), 0 h de TP et 20 h de travail personnel de l’étudiant (TPE) ; 3 crédits. Évaluation : contrôle continu (interrogations écrites et devoirs de TD, 40 %) et examen terminal écrit de 2 h (60 %). Calculatrice scientifique autorisée ; un formulaire (opérateurs vectoriels, formules d’intégration numérique) est fourni.

Bibliographie

• E. Azoulay, J. Avignant, Mathématiques (collection en plusieurs tomes pour IUT et BTS : algèbre, analyse), Dunod.
• J.-P. Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, EDP Sciences.
• E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Wiley.
• M. R. Spiegel, Analyse vectorielle, cours et problèmes, série Schaum, McGraw-Hill.
• A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Méthodes numériques : algorithmes, analyse et applications, Springer.