Mathématiques générales / Statistique 1

Ce cours de mathématiques générales (partie 1) consolide les outils d’analyse indispensables aux disciplines techniques de la licence : traitement du signal, réseaux, cryptographie, modélisation des systèmes et statistique (partie 2, semestre 2). Il développe le raisonnement mathématique à travers quatre chapitres : les fonctions trigonométriques réciproques (arcsin, arccos, arctan), les développements limités, qui permettent d’approcher une fonction par un polynôme et de lever des indéterminations, les équations différentielles linéaires du premier et du second ordre, qui modélisent la charge d’un circuit, le refroidissement d’un équipement ou les oscillations, et enfin les méthodes numériques (Euler, Heun, Runge-Kutta) qui permettent de résoudre ces équations sur ordinateur. Les exemples sont tirés des métiers de l’informatique et de la sécurité : orientation d’une antenne de liaison radio, probabilité de collision d’une fonction de hachage, refroidissement d’une salle serveurs, simulation en Python.

Objectifs d’apprentissage

• Connaître le domaine, les valeurs remarquables, les dérivées et les propriétés de arcsin, arccos et arctan, et les utiliser dans des calculs de dérivées, d’intégrales et d’angles.
• Écrire et combiner les développements limités usuels pour calculer des limites et des approximations.
• Résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre (variation de la constante) et du second ordre à coefficients constants, avec conditions initiales.
• Appliquer les méthodes d’Euler, de Heun et de Runge-Kutta d’ordre 4, évaluer leur erreur et leur stabilité.
• Modéliser une situation technique simple par une équation différentielle et interpréter la solution.

Prérequis

Mathématiques de terminale : fonctions usuelles (exponentielle, logarithme, trigonométrie), dérivation, primitives, limites, nombres complexes.

Plan du cours

1. Leçon 1 — Fonctions trigonométriques réciproques
2. Leçon 2 — Développements limités
3. Leçon 3 — Équations différentielles linéaires du premier et du second ordre
4. Leçon 4 — Méthodes numériques pour les équations différentielles

Modalités d’évaluation

Volume horaire : 20 h de CM, 10 h de TD, 0 h de TP, 30 h de travail personnel (TPE) ; 3 crédits. Évaluation : contrôle continu (TD notés, quiz en ligne, devoir surveillé) pour 40 % et examen terminal écrit de 2 h pour 60 %. Calculatrice scientifique autorisée.

Bibliographie

• François Liret, Dominique Martinais, Analyse 1re année, Dunod.
• Arnaud Planche, Mathématiques pour économistes : Analyse, Dunod.
• Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, EDP Sciences (collection Grenoble Sciences).
• Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Numerical Analysis, Cengage Learning.